Picardove iteracije

Teorem: (Picard)

Neka vrijede sljedeće pretpostavke:

1. skup , funkcija je neprekidna i
2. je lipshitzova po drugoj varijabli s lipshitzovom konstantom koja ne ovisi o , to jest:

Tada CZ ima rješenje . Za i to rješenje je lokalno jedinstveno.

Definicija: (Picardove iteracije)

Definiramo niz funkcija na sljedeći način:

Postupci rješavanja:

Picardove iteracije

1. Korak: Provjerimo je li funkcija neprekidna
2. Korak: Ispitajmo lipshitzovost po drugoj varijabli
3. Korak: Izracunajmo iteracije preko definicije dok ne naslutimo rješenje

Zadatci za vježbu:

1. Zadatak: Pokažite da CZ zadovoljava uvijete Picardovog teorema i koristeći Picardove iteracije pokušajte doći do njeog rješenja.

2. Zadatak: Za CZ izračunajte prva četiri člana Picardovih iteracija.

3. Zadatak: Za CZ pokažite da je najveći mogući (za sve izbore i ) iz Picardovog teorema jednak . S druge strane, pokažite da je rješenje zadaće definirano na . Dakle, ocjena za interval egzistencije rješenja iz Picardovog teorema nije optimalan.

4. Zadatak: Zadana je CZ . Pokažite da ova zadaća ne zadovoljava uvijete Picardovog teorema, te su funkcije:

rješenje te CZ.

Rješenja zadataka:

1. Zadatak: Funkcija je neprekidna i lipshitzova po drugoj varijabli. Rješenje je

2. Zadatak:

3. Zadatak: Maximalni , jest rješenje CZ.

4. Zadatak: u okolini točke nije ograničena, pa nije lipshitzova po drugoj varijabli. Funkcije jesu rješenje CZ.