Lipshitzove funkcije

Definicija:

Funkcija je lipshitzova ako

Konstanta zove se lipshitzova konstanta.

Definicija:

Funkcija je lipshitzova po drugoj varijabli ukoliko

Lemma:

Funkcija je lipshitzova po drugoj varijabli na ako i samo ako je omeđeba odozgo na . U tom slučaju najmanja lipshitzova konstanta jednaka je

Postupci rješavanja:

Ispitivanje lipshitzove funkcije

1. Korak: Ubacimo u funkciju i uvrstimo u nejednakost i izvučemo vrijednost konstante .

1 Lipshitzove funkcije po drugoj varijabli

1. Korak: Ubacimo u funkciju i uvrstimo u nejednakost i izvučemo vrijednost .
2. Korak: Nađemo granice za vrijednosti .

2 Lipshitzove funkcije po drugoj varijabli

1. Korak: Ubacimo u funkciju i uvrstimo u nejednakost i izvučemo vrijednost .
2. Korak: Nađemo granice za vrijednosti .

Zadatci za vježbu:

1. Zadatak: Ispitajte jesu li sljedeće funkcije lipshitzove:

2. .

2. Zadatak: Je li funkcija lipshitzova na pravokutniku .

3. Zadatak: Neka su . Ispitajte je li funkcija lipshitzova po drugoj varijabli na i ako je odredite lipshitzovu konstantu.

Rješenja zadataka:

1. Zadatak:

1. Funkcija jest lipshitzova s konstantom
2. Funkcija jest lipshitzova s konstantom

2. Zadatak: Funcija jest lipshitzova po drugoj varijabli gdje je

3. Zadatak:

1. Jest lipshitzova i
2. Jest lipshitzova i