Uvod

Definicija: (Obična diferencijalna jednadžba - ODJ)

Diferencijalna jednadžba je jednadžba oblika .

* Explicitni oblik:

Definicija: (Rješenje ODJ)

Neka je otvoren skup i dana funkcija. Za funkciju kažemo da je rješenje ODJ ukoliko vrijedi:

1. je otvoren interval

Definicija:

Skup svih rješenja ODJ zovemo opće rješenje, a jedno rješenje ODJ zovemo partikularno rješenje diferencijalne jednadžbe.

Definicija: (Cauchyjeva zadaća)

Ukoliko uz DJ imamo zadan uvjet, tj ukoliko promatramo onda zadaću nazivamo Cauchyjeva zadaća, a uvjet početni uvjet.

Teorem: (Banachov prostor)

Prostor svih neprekidnih funkcija na segmentu je realan Banachov prostor uz normu definiranu s

Definicija:

Kažemo da funkcija konvergira ka u ukoliko

Definicija:

Kažemo da niz funkcija uniformno konvergira ka u ukoliko

Postupci rješavanja:

Provjera uniformne konvergencije

1. Korak:
2. Korak:
3. Korak: Ako je moguće

Zadatci za vježbu:

1. Zadatak: Pronađite sve krivulje za koje je odsječak na osi ordinata, koji odsjeca bilo koja tangenta, jednak apscisi dirališta.

*Hint: Apscisa x-os, ordinata y-os

*Hint: Tangenta:

2. Zadatak: Odredite sve krivulje kojimia tangenta u svakoj točki te krivulje zatvara s koordinatnim osama trokut konstantne površine .

3.Zadatak: Model populacije:

1. Malthusov model: “Brzina rasta populacije u trenutku proporcionalna je broju jedinki u tom trenutku”,
2. Verhulstov model: “Brzina rasta populacije u ograničenom životnom prostoru u trenutku proporcionalna je umnošku broju jedinki u tom trenutku i veličini biološkog potencijala u tom trenutku”.

4. Zadatak: Fizikalni zakon raspada radioaktivne materije: “Brzina raspada proporcionalna je količini još neraspadnute materije”.

5. Zadatak: Provjerite jesu li funkcije i rješenje DJ na bilo kojem otvorenom intervalu .

6. Zadatak: Ispitajte konvergenciju niza funkcija ako je:

7. Zadatak: Newtonov zakon hlađenja glasi: “Promjena temperature objekta proporcionalna je rzlici temperature objekta i temperature okoline ”. Koristeći ovaj zakon, riješite sljedeći problem: u hotelskoj sobi temperature policija je u ponoć otkrila tijelo. Temperatura tijela bile je , a 2h kasnije . Kada se otprilike dogodio zločin?

Rješenja zadataka:

1. Zadatak:

2. Zadatak:

3. Zadatak:

4. Zadatak:

5. Zadatak: jest rješenje, nije rješenje.

6. Zadatak:

1. Uniformno konvergentna s uvjetom da
2. Uniformno konvergentna.

7. Zadata: 19h.